Sobre el paradoxal origen i curso ulterior de la Llei de Titius-Bode

Johann Daniel Titius (1729-1796), professor de física de l’antiga Universitat de Wittenberg (Saxònia), va traduir a l’alemany l’obra francesa Contemplation de la Nature, de Charles Bonnet (1720-1793).

Sense dir res a ningú, Titius va intercalar dos paràgrafs propis que es troben al final de la pàgina 7 i al començament de la 8 en l’edició alemanya de 1766. En el prefaci, Bonnet adverteix, sense precisar on, que Titius ha intercalat algunes notes pròpies, la qual cosa fa suposar no solament el seu coneixement, sino també la seva conformitat. Per suposat, el text nou intercalat no se troba ni en l’original francès ni en les traduccions de l’obra de Bonnet a l’italià i a l’anglès.

En el text intercalat a què ens referim hi ha dues parts, una a continuació de l’altra. En la primera s’exposa la successió de les distàncies planetàries al Sol dels planetes històrics, des de Mercuri a Saturn, arrodonint a nombres sencers i segueix: Si donem 100 punts a Saturn i 4 a Mercuri, a Venus correspondran 4+3 = 7 punts; a la Terra 4+6 = 10; a Mart, 4+12 = 16; al següent serien 4+24 = 28, però no hi ha planeta; i seran 4+48 = 52 punts i 4+96 = 100 punts respectivament, per a Júpiter els primers i per a Saturn els segons.

En la segona part intercalada s’afegeix: Si al radi de l’òrbita de la Terra li donem el valor de 10, els radis de les altres òrbites vindran donats per la fórmula Rn = 4 + (3 + 2^n), essent n = -∞ per a Mercuri i 0, 1, 2, 3, 4 y 5 per als planetes que el segueixen.    

Aquests dos enunciats, per tota la seva particular tipologia i el parlar de radis de les òrbites, semblen derivar-se d’una antiguitat cosista[1]. De fet, s’han anat trobant  molts precedents de fins principis segle XVII. Titius va ser deixeble del filòsof alemany Christian Freiherr von Wolf (1679-1754). La segona part del text intercalat es troba també en una obra de von Wolf de 1723, i per això, en el segle XX acostumava a assignar-se l’autoria de la llei al filòsof alemany. De fet, Titius va ser deixeble de Wolf. Altra referència més antiga és la de de James Gregory de 1702, en la seva Astronomiae physicae et geometricae elementa, llibre on la successió de les distàncies planetàries 4, 7, 10, 16, 52 i 100 es converteix en una progressió geomètrica de raó 2. És la fórmula més propera a Newton, anterior a la publicació alemanya del llibre de Bonnet, potser coneguda també per Benjamin Martin i pel propi Tomás Cerdá, abans de la publicació alemanya del llibre de Bonnet.

Como hem vist (3), el text intercalat per Titius en el llibre de Bonnet va ser efectivament transcrit en l’obra d’astronomia de Johann Elert Bode (1747-1826). En cap de les edicions de l’Aleitung zur kenntnis des gestirnten Himmels (1771-1772) es cita a Titius, si bé l’autor no s’assigna clarament l’autoria de la llei. Va ser solament en una memòria pòstuma de Bode on s’ha trobat una referència a Titius amb el reconeixement de la seva prioritat, si bé el que ja coneixia tot el món era la llei de Bode.

Titius i Bode esperaven que la llei portaria al descobriment de nous planetes. En realitat no va ser així. Els d'Urà i Ceres més aviat varen contribuir a donar fama a la Llei de Titius-Bode, però no pas aquesta al seu descobriment. Neptú i Plutó ja no varen entrar en dita llei. No obstant, amb posterioritat s’ha aplicat als satèl·lits dels grans planetes i actualment fins i tot als planetes extra-solars (5).

En el segle XIX, la llei de Bode o Titius-Bode: 1) Molts autors o no la coneixen o no la citen mai (9.4). 2) Altres la utilitzen com si fos una llei bàsica de la mecànica celeste, sense relació amb Newton. 3) Hi ha també qui la consideren una aproximació aritmètica casual, i 4) como a llei ja establerta per Kepler, però sense haver-ho demostrat.

Es interesant citar el magnífic llibre El telescopio moderno de A.T. Arcemis de més de 1.500 pàgines, en dos grans volums, editat el 1878 (Muntaner & Simón. Barcelona), que ens diu que la llei de Titius té el seu origen en un llibre francès escrit per aquest autor alemany i titulat Contemplació de la natura. Ha estat necessari arribar fins al segle XXI per aclarir millor aquesta qüestió, como s’ha descrit en (3). 

Fins ara, la Llei de Titius-Bode ha romàs sense cap explicació teòrica sòlida i convincent i convincent del seu significat físic, i també sense considerar-se un artefacte numèric. La seva història sempre ha estat més lligada a fressa que a endreça. ¿Cóm pot comparar-se a l'obra d'Hiparc amb respecte a les distàncies planetàries, a la de Kepler amb respecte a l'òrbita de Mart, al descobriment de Neptú, al càlcul d'una efemèride o al d'una òrbita partint solament de tres posicions, o amb l'explicació de la desviació del periheli de Mercuri? Tanmateix, segueix essent citada i més citada.

​

[1] Els cosistes eren experts en tot tipus de càlculs, i tant comerciants com empresaris els contractaven per a resoldre complicats problemes de comptabilitat. El seu nom deriva de la paraula italiana "cosa" perquè feien servir símbols per representar els valors desconeguts, de manera similar a l'ús que els matemàtics fan avui en dia de x. Tots els professionals de la resolució de problemes en aquesta època varen inventar els seus propis i astuts procediments per realitzar càlculs, i varen fer tot el possible per guardar aquests mètodes en secret i mantenir així la fama de ser les úniques persones capaces de resoldre determinats problemes.  

​

 

 

 

 

 

 

 

 

Una explicació de la llei de Titius-Bode que podria ser anterior al seu origen històric

El jesuïta Tomàs Cerdà (1715-1791) va donar un cèlebre curs d'astronomia a Barcelona l'any 1760, a la “Reial Càtedra de Matemàtiques del Col·legi de Sant Jaume de Cordelles” (Imperial y Real Seminario de Nobles de Cordelles). Del manuscrit original conservat a la Real Academia de la Historia de Madrid, Lluís Gasiot va refer el Tratado de Astronomía de Cerdà, publicat el 1999, i que es basa en els Astronomiae physicae de James Gregory (1702) i particularment en la Philosophia Britannica de Benjamin Martin (1747). En el Tratado de Cerdà podem trobar les distàncies planetàries obtingudes a partir dels temps periòdics i aplicant la tercera llei de Kepler, amb una precisió de 10^-3.

Prenent de referència la distància de la Terra como a 10 i arrodonint a enters, pot establir-se la progressió geomètrica [(Dn x 10) – 4] / [Dn-1 x 10) – 4] = 2, des de n=2 a n=8. Utilitzant el moviment circular uniforme fictici equivalent de la Anomalía de Kepler, es poden obtenir els valores Rn dels radis corresponents a cada planeta, amb els qual poden obtenir-se les raons rn = (Rn – R1) / (Rn-1 – R1) que resulten ser 1,82; 1,84; 1,86; 1,88 i 1,90, amb la qual cosa rn = 2 – 0,02 (12 – n).

La relació entre la successió kepleriana i la Llei de Titus-Bode mostra que es tracta simplement d’una aproximació numèrica casual. La raó geomètrica mitja és 1,86, propera a 2, però en realitat és la mitja d’una successió regular creixent des de 1,82 fins a 1,90 entre n=3 i n=7.

La velocitat mitja dels planetes des de n=1 a n=8 disminueix en allunyar-se del Sol i difereix del descens uniforme a n=2 per recuperar-lo a partir de n=7 per ressonància orbital. El pas de l’espira d’Arquímedes que forma les velocitats planetàries només compren els sis termes consecutius.

​

El que va donar a conèixer la Llei de Titius-Bode ja havia estat establert por Kepler amb anterioritat

Entre altres autors, Comas Solà definia la Llei de Titius-Bode a mitjans segle XX com una formula aritmètica que estableix aproximadament una progressió geomètrica de raó 2 amb les distàncies dels planetes al Sol, segons el que ja havia estat establert per Kepler amb anterioritat (4.5).

Como altres astrònoms de la seva època, Kepler ja disposava de les distàncies dels planetes al Sol amb relació a la de la Terra determinades pels mètodes trigonomètrics (4.1). També coneixia els temps periòdics determinats directament veient que la relació Pn / Pn-1~ 2, faltant un planeta entre Mart i Júpiter (n=5). Entre n=3 y n=7 les distàncies al Sol eren funció exponencial de l’ordre de successió de n. Naturalment, per la tercera llei DK = (Pn /P3)^2/3. Sabia també que (10 x DK)n – 4 / (10 x DK)n-1 – 4 = 2. Amb el càlcul de la anomalia tenia el moviment circular uniforme equivalent al real el·líptic i podia calcular els radis corresponents Rn. Amb això s’obté la relació

 

Rn – R1 / Rn-1 – R1 = 2 – 0,02 (12-n)

​

que potser sigui la més important que existeix entre la Llei de Titius-Bode i el que Kepler ja havia establert al respecte amb anterioritat.

​

La Llei de Titius-Bode només pot aplicar-se als planetes històrics del sistema solar copernicà a partir de n=2. No es vàlid per als asteroides ni per als cometes

A la figura 17 tenim una imatge de la pàgina 10 del facsímil original del manuscrit de Copèrnic (1539) del seu cèlebre De revolutionibus orbium coelestis. A la figura 16 trobem la representació de N. Winston inclosa en la pàgina 5 del Tratado de Astronomía de T. Cerdà (1760), que compren planetes i cometes amb diferents temps periòdics i distàncies al Sol.  

A les figues 14 i 15 veiem imatges del manuscrit Tratado de arismética y geometría practica de l’autor Juan de Área y Quiroga (1718, figura 18), que representen el sistema ptolemaic (s. II dC.) i el ticònic (s. XVI dC.) com resposta a la pregunta 36 i a les quals no seria aplicable la Llei de Titius-Bode.

Com ja hem avançat abans, (6.1), cada òrbita planetària queda definida por set elements entre els quals hi ha el de la distància al Sol. Amb la mecànica newtoniana es poden calcular tots els elements a partir de tres posicions aparents del planeta, amb la seva ascensió, recta i declinació. Ja sabem que el seu coneixement va ser aconseguit històricament per aproximacions successives de moltíssimes posicions aparents, seguides dels corresponents ajustos. Així va ser com Kepler i altres observadors ja disposaven d’òrbites prou correctes dels planetes històrics.

Els cometes i els asteroides no segueixen la Llei de Titius-Bode. Prescindint d’ella, l’any 1850, Francisco Verdejo Paez, catedràtic de geografia de la Universitat de Madrid, en la seva Geografía Astronómica (Impremta de Repullés, Madrid), va fer una successió única de distàncies al Sol, incloent els asteroides coneguts en aquella època: Mercuri, 0,4; Venus, 0,7; Terra, 1,0; Mart, 1,6; Flora, 1,9; Vesta, 2,4; Iris, 2,4; Metis, 2,4; Hebe, 2,4; Astrea, 2,4; Juno, 2,7; Ceres, 2,8; Palas, 2,9; Higia, 3,0; Júpiter, 5,3; Saturn, 9,7; Urà, 19,4; i Neptú, 40,5. Les inclinacions de l’òrbita des de Flora fins a Higia serien les següents: Flora, 5°53’; Vesta, 7°8’; Iris, 5°28’; Metis, 5°35’; Hebe, 14°48’; Astrea, 5°19’; Juno, 13°4’; Ceres, 10°37’; Palas, 34°38’ i Higia, 3°48’. J. Regueiro Argüelles, abans citat (2), en la seva Astronomía física del mateix any, deixa la distància al Sol corresponent a n=5 sense cap planeta, com els autors més moderns, i només set termes per la llei de Bode.

 

Distàncies interplanetàries. Raó geomètrica mitja rn = 1,86 des de n=3 a n=7 de la successió de distàncies al Sol. El més paradoxal de l’èxit de la Llei de Titius-Bode. Influència de la introducció del telescopi

La posició dels planetes projectada en la volta celeste des de la Terra canvia com a conseqüència del moviment simultani de la Terra i del planeta. Així per exemple, la Terra dona dotze voltes al Sol mentre que Júpiter en dona només una; i es per això que  veiem córrer el planeta mig any en un sentit i un altre mig en l’oposat, el primer més ràpid que el segon. Hi ha una circumferència que porta encastat el planeta que gira dotze vegades, donant la revolució completa al Sol. És l’anomenat epicicle. El de Saturn és més lent i el de Mart més ràpid. El de Venus i el de Mercuri, més complicats. A més, cada planeta ve a trobar-se ara més prop, ara més lluny de la Terra. Per exemple, en certs punts, Mart es troba quatre vegades més lluny de nosaltres que en altres punts. Per explicar aquestes variacions, es va haver de modificar el cercle, de la qual cosa va sorgir l’idea d’un centre de gir desplaçat, amb al Terra més distant o més propera. Constitueix l’anomenada excèntrica. Amb les lleis de Kepler tot això va canviar. Amb el seu càlcul de l’anomalia s’obté un moviment circular uniforme equivalent (4.5), entre n=1 y n=7, amb una raó mitja de (Rn – R1) / (Rn-1 – R1) = 2 – 0,02 (12-n) = 1,82; 1,84; 1,86; 1,88; 1,90 / 5 = 1,86 en lloc de 2 como a valor mig.

Per a l’autor d’aquest assaig, és inversemblant creure que Copèrnic, Galileu, Kepler o Newton fossin capaços d’intercalar un text anònim en la traducció d’un llibre com sembla ser que ho va fer Titius, i també que poguessin apropiar-se d’aquest text intercalat en un llibre propi, com va fer Bode. Encara avui en dia resulta paradoxal l’èxit persistent d’aquesta actuació, després de tres segles, del que pot ser una antigalla cosista de principis segle XVIII. Hi ha causes remotes d’aquests fenòmens. En aquest cas diguem que, sense la introducció del telescopi per Galileu, la Llei de Titius-Bode no hauria existit, però seguiria implícita en l’obra de Kepler. També s’ha dit que Copèrnic va poder treure la Terra del centre del món gràcies al descobriment d’Amèrica. No obstant, el catàleg de nebuloses de Bode i les seves noves constel·lacions podrien haver desprestigiat qualsevol, però el que succeeix és que ja ningú no es recorda de tot això.

No crec que la racionalitat i, en especial, el coneixement científic hagi canviat el tipus mig de la naturalesa humana anterior, com ho va fer, per exemple, passar de l’Edat de pedra a l’Edat dels metalls. L’etapa de l’Homo sapiens comença amb l’escriptura, que és un fet relativament recent, de 5.000 a 6.000 anys. En les tenebres més allunyades del temps està l’Homo habilis, fa uns dos milions d’anys. L’Edat de ferro el va canviar més que no pas a nosaltres ens ha canviat la ciència. Sense comparació amb el petit i lent canvi que pugui venir de saber que la Terra és un planeta que gira al voltant del Sol, però a la llarga ningú no sap el que pot arribar a passar en el futur.

Kepler i Newton eren actualistes, les coses son com varen ser creades, i tots dos estaven sòlidament ancorat en una sola creació antropocèntrica (4.5). Es possible que a gran escala de temps, la història de l’home, la del planeta Terra i fins i tot la del propi sistema solar puguin arribar a semblar-nos fenòmens minúsculs i passatgers. Caldria veure-ho en el seu dia, però seria impossible per a l’Homo habilis.